Могу ли я подать документы в 10 класс,если учусь в техникуме всего лишь 5 дней?

Можете.

В соответствии со статьей 5 Федерального закона "Об образовании в РФ" в Российской Федерации гарантируются общедоступность и бесплатность в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами дошкольного, начального общего, основного общего и среднего общего образования, среднего профессионального образования, а также на конкурсной основе бесплатность высшего образования, если образование данного уровня гражданин получает впервые.